جواب کاردرکلاس صفحه 26 ریاضی یازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام جداول فعالیت صفحه ۲۶ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین یک مثال کاربردی از **توابع پله‌ای (step functions)** در زندگی واقعی است. تابع، رابطه‌ای است که به هر زمان مشخص (ورودی) یک هزینهٔ مشخص (خروجی) نسبت می‌دهد. جدول ۱ و ۲ داده‌های لازم برای تعریف این تابع را به ما می‌دهند. ### جدول ۱: میانگین ورود خودرو (ورودی تابع) این جدول تعداد خودروهایی که در هر ساعت وارد پارکینگ می‌شوند را برای روزهای هفته نشان می‌دهد. این مقادیر **ورودی** ما برای استفاده از جدول ۲ هستند. ### جدول ۲: ضابطهٔ تابع هزینه (قانون تابع) این جدول ضابطهٔ تابع هزینه را مشخص می‌کند. هزینهٔ دریافتی (خروجی) به **تعداد خودروهای ورودی** (ورودی) بستگی دارد: * **ورودی ۰ تا ۱۰۰:** خروجی (هزینه) $\mathbf{0}$ تومان. * **ورودی ۱۰۰ تا ۲۰۰:** خروجی (هزینه) $\mathbf{500}$ تومان. * **ورودی ۲۰۰ تا ۳۰۰:** خروجی (هزینه) $\mathbf{1000}$ تومان. * **ورودی ۳۰۰ تا ۴۰۰:** خروجی (هزینه) $\mathbf{1500}$ تومان. * **ورودی ۴۰۰ تا ۵۰۰:** خروجی (هزینه) $\mathbf{2000}$ تومان. * **ورودی ۵۰۰ تا ۶۰۰:** خروجی (هزینه) $\mathbf{2500}$ تومان. * **ورودی ۶۰۰ تا ۷۰۰:** خروجی (هزینه) $\mathbf{3000}$ تومان. ### مثال: برای روز **دوشنبه** در ساعت $\mathbf{10}$ تا $\mathbf{11}$، میانگین خودروهای ورودی **۲۳۰** خودرو است (جدول ۱). * ۲۳۰ در بازهٔ $\mathbf{200 - 300}$ قرار می‌گیرد. * بنابراین، هزینه دریافتی در این ساعت **۱۰۰۰ تومان** است (جدول ۲). این دو جدول ابزارهای اصلی ما برای حل قسمت بعدی فعالیت هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه ۲۶ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این بخش از فعالیت، تابع هزینه را بر اساس **زمان ورود** (به جای میانگین خودروهای ورودی) تعریف می‌کند. در واقع ما دو مرحله را طی می‌کنیم: 1. **ورودی (زمان) $\to$ میانگین خودروها (از جدول ۱).** 2. **میانگین خودروها $\to$ هزینه (از جدول ۲).** ### ۱. تکمیل ضابطه، دامنه و برد برای روز دوشنبه ابتدا داده‌های روز دوشنبه (جدول ۱) را به هزینه (جدول ۲) تبدیل می‌کنیم: | ساعت ورود | میانگین خودرو | بازه خودرو (جدول ۲) | هزینه (تومان) | زوج مرتب ($ ext{x}$, $ ext{y}$) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | ۸ تا ۹ ($ ext{x}=8$ تا $ ext{x}=9$) | ۲۱۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{8 \le \text{x} < 9} \to 1000$ | | ۹ تا ۱۰ | ۲۱۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{9 \le \text{x} < 10} \to 1000$ | | ۱۰ تا ۱۱ | ۲۳۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{10 \le \text{x} < 11} \to 1000$ | | ۱۱ تا ۱۲ | ۲۱۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{11 \le \text{x} < 12} \to 1000$ | | ۱۲ تا ۱۳ | ۲۳۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{12 \le \text{x} < 13} \to 1000$ | | ۱۳ تا ۱۴ | ۲۰۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{13 \le \text{x} < 14} \to 1000$ | | ۱۴ تا ۱۵ | ۲۰۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{14 \le \text{x} < 15} \to 1000$ | | ۱۵ تا ۱۶ | ۲۱۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{15 \le \text{x} < 16} \to 1000$ | | ۱۶ تا ۱۷ | ۲۴۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{16 \le \text{x} < 17} \to 1000$ | | ۱۷ تا ۱۸ | ۲۳۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{17 \le \text{x} < 18} \to 1000$ | | ۱۸ تا ۱۹ | ۲۳۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{18 \le \text{x} < 19} \to 1000$ | | ۱۹ تا ۲۰ | ۲۵۰ | ۲۰۰ - ۳۰۰ | **۱۰۰۰** | $\mathbf{19 \le \text{x} \le 20} \to 1000$ | **تکمیل تابع:** * **دامنه ($\\text{D}$):** زمان ورود از ساعت ۸ صبح تا ۲۰ شب. $$\text{D} = \left\{ \text{x} \in \mathbb{R} \mid \mathbf{8} \le \text{x} \le \mathbf{20} \right\}$$ * **برد ($\\text{R}$):** مجموعه تمام خروجی‌های تابع، که فقط یک مقدار است. $$\text{R} = \left\{ \mathbf{1000} \right\}$$ * **ضابطه ($\\text{C}(\text{x})$):** چون هزینه در تمام طول روز یکسان است: $$\text{C}(\text{x}) = \mathbf{1000} \quad \text{اگر } 8 \le \text{x} \le 20$$ ### ۲. رسم نمودار (رسم تابع ثابت) * نمودار در این روز یک **خط افقی ثابت** در ارتفاع $\mathbf{y=1000}$ خواهد بود. * این خط از $\mathbf{\text{x}=8}$ شروع شده و تا $\mathbf{\text{x}=20}$ ادامه می‌یابد. * در $\text{x}=8$ نقطه پر و در $\text{x}=20$ نیز نقطه پر رسم می‌شود. (نمودار کاملاً روی خط $y=1000$ است.) ### ۳. پاسخ به سؤالات تحلیلی **۱. دامنه نمودار در روز دوشنبه چه تفاوتی با دامنه نمودار در روزهای شنبه و یکشنبه دارد؟** در صورت سؤال قید شده که در این نمودار، محور $\text{x}$ (زمان ورود) برخلاف روزهای شنبه و یکشنبه بیانگر زمان ورود خودرو به توقفگاه است. این جمله کمی مبهم است، اما اگر فرض کنیم منظور این است که در شنبه و یکشنبه، **زمان ورود** متغیر ما نبوده، بلکه خود **تعداد خودروهای ورودی** متغیر بوده است، آنگاه: * **دامنه دوشنبه (فعالیت فعلی):** زمان ورود است: $\mathbf{\left[ 8, 20 \right]}$ (یک بازه پیوسته). * **دامنه شنبه و یکشنبه (حالت عادی):** احتمالاً صرفاً مجموعه‌ای از **اعداد گسسته** (مثلاً $30, 40, 50, ots$ در شنبه و $110, 130, 150, ots$ در یکشنبه) بوده‌اند که به هزینه نگاشته می‌شدند. **تفاوت اصلی در تعریف ورودی‌ها (متغیر مستقل) است:** در شنبه/یکشنبه (فرضاً) ورودی $30 \to 0$ و $40 \to 0$ بود. اما در دوشنبه ورودی $\text{x}=8$ تا $\text{x}=9$ به $1000$ نگاشته می‌شود. **۲. تفاوت این دامنه‌ها چه تأثیری بر نمودار تابع دارد؟ چرا؟** * **تأثیر:** اگر دامنه **گسسته** (مجموعه‌ای از اعداد) بود، نمودار فقط شامل **چند نقطه** می‌شد (همانند تمرین‌های قبل). * اما در این فعالیت، دامنه **بازهٔ زمانی پیوسته** (از $8$ تا $20$) در نظر گرفته شده است (بر اساس متن سؤال "محور $\text{x}$ بیانگر زمان ورود..."). * **نتیجه:** نمودار دوشنبه به جای نقاط گسسته، یک **بازهٔ پیوسته (خط) در ارتفاع $\text{y}=1000$** است. این نشان می‌دهد که در تمام لحظات بین ۸ تا ۲۰، هزینه توقفگاه برای خودروها ثابت است.